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English to French: Reliability / Life data analysis
Source text - English Applications of the Weibull-Bayesian Distribution in Life Data Analysis
One of the new features of XYZ is support for Bayesian statistics. In Version X, all types of analysis dealt exclusively with classical statistics. The premise of Bayesian statistics is to incorporate prior knowledge along with a given set of current observations in order to make statistical inferences. The prior information could come from operational or observational data, from previous comparable experiments or from engineering knowledge.
This type of analysis is particularly useful if there is a lack of current test data and when there is a strong prior understanding about the parameter of the assumed life model and a distribution can be used to model the parameter. By incorporating prior information about a parameter, a posterior distribution for a parameter can be produced and an adequate estimate of reliability can be obtained. XYZ introduces a new type of distribution that combines the properties of the XYZ distribution with the concepts of Bayesian statistics. The new distribution is called Weibull-Bayesian. The Reliability Basics section of this XYZ issues introduces the theory behind the Weibull-Bayesian model. The following are two examples that illustrate the application of the XYZ distribution.
Example 1
A manufacturer is testing prototypes of a modified product. The test is terminated at 2000 hrs, with only two failures observed from a sample size of eighteen.
Because of the lack of failure data in the prototype testing, the manufacturer decided to use information gathered from prior tests on this product to increase the confidence in the results of the prototype testing. Failure analysis on the prototypes indicated that the same failure mode as that experienced by the previous design is observed again. The manufacturer hopes, however, that longer life has been achieved in the revised product (i.e. that the overall behavior of the distribution is the same but shifted to the right). Prior tests have yielded the following values for β.
First, in order to fit the data to a XYZ model, a prior distribution for β needs to be determined. Based on the prior tests' β values, the prior distribution for β was determined to be a lognormal distribution with μ = 0.8235, σ = 0.0943 (obtained by entering the β data into a XYZ Standard Folio and analyzing it based on the RRX analysis method).
The test data set is entered into a Standard Folio, Weibull-Bayesian is selected under Distribution and the prior β distribution is entered after clicking the Calculate button.
After performing the calculations, the Folio looks like the one shown next.
The reliability at t = 1000 hours, along with the two-sided confidence bounds, is calculated using the QCP as follows:
The reliability plot of the XYZ model is displayed next.
A comparison of the probability plots and confidence bounds for the XYZ model and the regular two-parameter model is shown next. The plot shows that the confidence bounds obtained using the XYZ model are tighter and therefore lead to more precise analysis.
Example 2
This example illustrates how the Bayesian analysis can be performed using a prior β distribution that describes the uncertainty related to the β estimation based on a single data set rather than a history of β values from many previous analyses.
A manufacturer wants to estimate the warranty period to offer its customers for a new product. The manufacturer performed a single test on a previous model of the product and obtained the following months-to-failure data.
The above figure also shows the results of the parameter estimation using the two-parameter Weibull and the RRX analysis method.
From this data, a list of β values can be obtained based on different confidence level values. In XYZ, this is done using the XYZ and the XYZ.
The β for different CL values is calculated and the following table is generated.
The distribution parameters of β can be obtained based on using the β values obtained above. In XYZ, insert a Free-Form (Probit) data sheet and enter the data as follows:
The best fit distribution for β is found to be the lognormal distribution. The parameters of the distribution are found to be μ = 0.8473 and σ = 0.1854. This now constitutes the prior distribution of β, which can be used as the prior knowledge in subsequent analysis.
The manufacturer performed another test on a new version of the product. Because of cost considerations, the test was limited to six units. Therefore, the manufacturer wants to use the prior knowledge gathered about β in the reliability analysis of the new product version.
Using the Weibull-Bayesian distribution and the β prior distribution, the new product test data set looks as follows.
The QCP can be used to estimate a warranty duration for the new product that would meet an 85% reliability at a 90% confidence level. The warranty duration is estimated to be 20.59 months.
The reliability plot is shown next.
Translation - French Applications de la loi Weibull-Bayesian dans l´analyse des données de durées de vie
Une des nouvelles fonctions de XYZ est le support des statistiques bayésiennes. Dans
la version X, toutes les analyses traitaient exclusivement des statistiques classiques.
La prémisse des statistiques bayésiennes est d´incorporer les connaissances préalables à un ensemble d´observations actuelles afin de réaliser des inférences statistiques. L´information préalable pourrait procéder soit de données opérationnelles ou observationnelles, d´expériences préalables comparables, ou de
connaissances d´ingénierie.
Ce type d´analyse s'avère surtout utile lorsqu'on manque de données d´essais actuelles mais qu'on
possède une haute compréhension préalable du paramètre du modèle de durée de vie présumé et qu´une distribution peut être utilisée pour modéliser le paramètre.
En introduisant les informations diponibles
sur un paramètre, une distribution postérieure pour un paramètre peut être produite et une estimation
adéquate de la fiabilité peut être obtenue.
XYZ introduit un nouveau type de distribution qui combine les propriétés de la distribution XYZ avec les concepts des statistiques bayésiennes.
La nouvelle distribution est appelée XYZ. La section « XYZ » (disponible
exclusivement en anglais) de cette issue introduit la théorie derrière le modèle Weibull-
Bayesian. Les deux exemples ci-dessous illustrent l´application de la loi Weibull-Bayesian.
Exemple 1
Un fabricant teste les prototypes d´un produit modifié. L’essai est achevé après 2000 heures, avec
seulement deux défaillances révélées sur un échantillon sur dix-huit.
Vu le manque de données de défaillances dans le test des prototypes, le fabricant décide d´utiliser des
informations obtenues dans les essais préalables du produit pour augmenter la confiance dans les
résultats du test des prototypes. Une analyse de défaillances des prototypes a indiqué que le même mode de défaillance, comme celui expérimenté dans le design préalable, avait été encore observé.
Cependant, le fabricant espère avoir obtenu une durée de vie plus large dans le produit révisé (c´est à dire, que le comportement de la distribution est généralement le même mais qu'il a été déplacé vers la
droite). Des essais préalables avaient révélé les valeurs suivantes de β:
D´abord, pour adapter les données au modèle XYZ, une distribution préalable pour β doit
être déterminée. En s´appuyant sur les valeurs de β dans les essais préalables, la distribution préalable
pour β est déterminée en tant que distribution lognormale, avec μ = 0.8235, σ = 0.0943 (obtenues en
introduisant la valeur de β dans le menu standard de XYZ et en l´analysant en se basant sur la
méthode d´analyse RRX). L´ensemble des données d´essai est introduit dans le menu standard, on
sélectionne Weibull-Bayesian sous Distribution et la distribution préalable β est introduite une fois on
a appuyé sur le bouton Calculate.
Une fois les calculs exécutés, le résultat obtenu sera le suivant :
La fiabilité à t = 1000 heures, ainsi que l'intervalle de confiance bilatéral, sont calculées en utilisant le
QCP (Quick Calculation Pad) :
Le diagramme de fiabilité du modèle XYZ est montré ci-dessous :
Ci-dessous, on peut voir une comparaison des diagrammes de probabilité, des intervalles de confiance
du modèle Weibull-Bayesian et le modèle normale à deux paramètres. Le diagramme montre que les
bornes de l'intervalle de confiance obtenues en utilisant le modèle Weibull-Bayesian sont plus étroites,
l´analyse devient donc plus précise.
Exemple 2
Cet exemple démontre comment l´analyse bayésienne peut être réalisée en utilisant la distribution
préalable β qui décrit l´incertitude reliée à l´estimation de β basée sur un seul ensemble de données au
lieu d´un histogramme des valeurs de β obtenues à partir de plusieurs analyses préalables.
Un fabricant veut estimer la période de garantie qu´il pourrait offrir à ses clients pour un nouveau
produit. Le fabricant réalise un seul essai sur un modèle préalable du produit et obtient les données de
défaillance suivantes par mois :
Le tableau ci-dessus montre aussi les résultats de l´estimation du paramètre en utilisant le XYZ à
deux paramètres et la méthode d´analyse RRX.
À partir de ces données, on peut obtenir une liste de valeurs β basée sur des valeurs différentes des
niveaux de confiance. Dans XYZ, ceci est fait en utilisant le XYZ et le XYZ.
β est alors calculée pour les multiples valeurs de CL, et on obtient le tableau suivant:
Les paramètres de distribution de β peuvent être obtenus à partir des valeurs β obtenues ci-dessus. Sur
XYZ, introduisez une feuille de données établie selon le modèle probit et introduisez les valeurs
suivantes:
La meilleure distribution ajustée de β est la distribution lognormale. Les paramètres de la distribution
sont μ = 0.8473 et σ = 0.1854. Cela constitue à présent la distribution préalable de β, que l´on pourrait
utiliser comme une connaissance préalable dans les ananlyses ultérieures.
De nouveau, le fabricant teste une nouvelle version du produit. Pour des raisons économiques, l'essai a
été limité à six unités. Le fabricant veut donc utiliser les connaissances préalables obtenues sur β dans
l´analyse de fiabilité de la nouvelle version du produit.
En utilisant la distribution Weibull-Bayesian et la distribution préalable β, le nouvel ensemble des
données d´essais du produit est comme suit:
On peut utiliser le QCP pour estimer la période de garantie du nouveau produit qui aurait une fiabilité
de 85% et un niveau de confiance de 90%. La période de garantie est estimée à environ 20,59 mois.
Le diagramme de fiabilité est montré ci-dessous:
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