The "appeal" referenced in your context is an administrative appeal and not an appeal in the court system - therefore you want to avoid the term "Berufung" which is limited to appeals against court decisions.

Creifelds, Rechtswoerterbuch:

"Berufung ist das Rechtsmittel, das grundsaetzlich gegen die Urteile des ersten Rechtszuges gegeben ist..."

The "board of appellate review" comes closest to the German term "Widerspruchsbehoerde" - which is the generic term for an agency or board that reviews agency decisions upon any corresponding administrative "appeal" (Widerspruch).

Creifelds, Rechtswoerterbuch:
"Widerspruchsverfahren. 1. Die Erhebung der Anfechtungsklage gegen einen Verwaltungsakt ... setzt voraus, dass vor Anrufung des Verwaltungsgerichts Rechtmaessigkeit und Zweckmaessigkeit des Verwaltungsaktes in einem Vorverfahren auf Grund Widerspruchs des Klageberechtigten nachgeprueft worden sind (Secs. 68 ff. VwGO) .....Hilft die (erlassende) Behoerde dem Widerspruch nicht ab, so erlaesst grundsaetzlich die naechsthoehere Behoerde den Widerspruchsbescheid...."

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