この lines は、航路、航路、という意味でしょう (bus line のlineとも同じです）。他社の路線にわたって/路線まで（ずっと）通しで、という意味です。

普段の会話で、通しチケット、とか、一括チェックインと呼ばれるもので、チェックインカウンターでも、「お預けになられたお荷物には最終到着地までのタグをお付けしております...」などと言われることがあります（だからといって、乗り継ぎ先でチェックインをするかどうか、荷物を一度引き取りするかどうかは、規約がしょっちゅう変わるので注意しないと空港で走りまわる、ということにもなりかねないですし、通関があるときは一度は荷物を引き取って預け直すので色々ややこしいところです）。とりあえずは、通しで発券および荷物のチェックインを行った場合、最初にチェックインした当航空会社が他の航空会社の代理として（agent）、この業務を行うものとします、ということでしょう。