Los empleados calificados no corresponden con la solicitud de trabajar las horas extras.

In this context, 'solicit' is being used in the sense of 'requisition' - i.e. the issuing of an instruction by the employer to the effect that someone must do overtime, even if they have not volunteered.

Depending on how the surrounding text is worded, you need the appropriate forms of the verb requisar

English term (edited): solicit, AmE / CanE

vs. por cuenta ajena :

..a los empleados o dependientes + trabajo de horas extras / suplementarias.

Solicit is unlikely to be the UK where the phrase would connote red-light district recruiting.

No un-Christian comments please !

Creo que la traducción en español de "solicit" en este sentido es "asignación obligada/obligatoria".
Aunque se traduce diferente en las dos oraciones:
*Si no hay suficientes empleados cualificados que se propongan como voluntarios para el tiempo/horas extra, la Empresa/Compañia asignará de forma obligatoria dichas horas".
*Si la Empresa/Compañía es incapaz de asignar/encontrar empleados cualificados, el tiempo/horas extras diario/diarias se asignará..."

Mira este contrato y materiales de interés:

https://static1.squarespace.com/static/5e98996caa09f31c2755b...
"También, en la aplicación de esta política, un
trabajador que falte a trabajar las horas extra obligatorias, o acuerde trabajar horas extra cuando se le pida y no se reporte, será sujeto a medidas disciplinarias"
Sección 8.
Los empleados recibirán un mínimo de una (1) hora de aviso previo cada
día de trabajo en que se requiera que el empleado trabaje una asignación obligatoria de horas extra.
11
Hay dos excepciones cuando no haya suficientes voluntarios y el aviso previo de una (1) hora sobre el trabajo obligatorio de horas extra no es práctico o requerido

https://almacendederecho.org/cronica-laboral-las-guardias-co...
"... a un determinado comportamiento en función de las tareas que se puedan activar-, que una asignación obligatoria sólo de quienes tuvieran vigente el permiso de conducir. En el caso concreto podría concurrir la proporcionalidad al ser la adscripción obligatoria sólo un medio supletorio utilizado por Renfe para cubrir las plazas necesarias en caso de insuficiencia de voluntarios y preverse la asignación de guardias localizables a los “obligados” sólo de forma provisional y rotativa por periodos de 1 mes."

https://www.revistakula.com.ar/wp-content/uploads/2014/05/4-...
En función a estos abusos, se aplicaron diversas modificaciones en su sistema de regulación, reduciendo su jornada laboral y estableciendo una asignación obligatoria por las tareas realizadas por los pasantes.

Yo creo que solicit se está usando como un término común, es decir, no necesariamente jurídico.

Diccionario del Estudiante de la RAE:

requerir
conjug. sentir.
1tr.Necesitar alguien o algo (una cosa), o manifestar necesidad (de ella). La jardinería requiere paciencia.
2tr.Pedir (a alguien) que haga algo. El Ayuntamiento requerirá la ayuda de los ciudadanos.
3tr.Exigir (algo) con autoridad. Para entrar requieren autorización escrita.
1: pedir.

Creo también puede alternarse entre requerir, exigir, obligar o pedir en función de donde aparece solicit según sea más adecuado. Por ejemplo, traducir el primero como requerir/exigir, y el segundo como obligar.

solicit(1): solicitar, requerir
solicit(2): ejercer la prostitución callejera, ofrecerse para la prostitución, abordar a clientes en busca de prostitución
solicit(3): atraer, incitar

Referencia:
Alcaraz & Hughes (2007). Diccionario de términos jurídicos inglés-espanol/Spanish-English 10e

Aquí en este caso queda claro que si no se ofrece ningún trabajador de manera voluntaria la empresa los designará.
Es una manera de protegerse para la empresa.


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Note added at 1 día 19 horas (2022-07-11 12:55:24 GMT)
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En un momento determinado por alguna situación crítica en el clima laboral de la empresa los trabajadores pudieran negarse a realizar horas extras para de alguna forma presionar a la administración de la empresa y esta se protege con cláusulas como esta.

Soliciting aquí tiene el mismo sentido que tiene el soliciting por el cual la policía arresta a mujeres o a hombres que ofrecen servicios sexuales: persuadir, abordar, ofrecer, invitar.

If sufficient qualified employees do not volunteer for the overtime work, the overtime work will be solicited by the Company.
Si para el trabajo en sobretiempo no se ofrecen voluntariamente suficientes empleados calificados, la Empresa buscará persuadir/invitará/ofrecerá/abordará a los empleados para tal sobretiempo.

If Company is unable to solicit qualified employees, daily overtime...
Si la Empresa no logra persuadir/abordar a empleados calificados, el sobretiempo diario...

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Note added at 2 days 6 hrs (2022-07-11 23:13:06 GMT)
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Insisto conpersuadir; esta es una cláusula contractual con la cual la empresa se blinda ante posibles reclamaciones por parte de sindicatos que puedan aducir coacción de los empleados asociados a ella para trabajar sobretiempo.

Esa persuación (una "invitación", "abordarlos") pasa por ofrecer beneficios adicionales para aquellos empleados calificados que finalmente accedan a trabajar; el sobretiempo se trabaja de todas maneras en caso de que no se logre lo anterior pero con otro tipo de asignación (otra cláusula para protección de la empresa).

El sentido que le dá al artículo la palabra persuación (o como también lo expreso, buscará persuadir) es el que expresa, indubitablemente, tanto las acciones que ejercerá la empresa como la protección que ella quiere lograr con la inclusión de la redacción en el contrato.

Se trata de la cuestión de llamar o emplear de otro modo suplementario a trabajadores o empleados que tienen certificados o diplomas diciendo que pueden completar un trabajo. A veces se tiene que hacer rápridamente con muy poco tiempo de notificación previa. Se escoge la palabra sabiendo que se emplean trabajadores como personas, no sólo como objetos.
El texto explica:
'Si la empresa no tiene derecho, o si no puede, llamar para solicitar que trabajen empleados certificados, las horas suplementarias por día se denominan empezando con el empleado más joven que se certifica ser capaz de hacer el trabajo, durante el mismo turno, en el departamento donde es necesario que se trabaje un tiempo suplemetario.'

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Note added at 1 day 1 hr (2022-07-10 18:40:52 GMT)
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Creo que una dicha práctica de solicitud podría tener lugar en un almacén de una fábrica, por ejemplo, a veces cuando una entrega grande de ingresos de comodidades puede llegar, y así un patrón puede necesitar más ayuda en su almacén, con poco aviso.

EN:
It's about a company who could call on employees to work overtime to complete tasks. This might take place quickly with little previous warning. Furthermore, the employer wants his employees to be qualified. I believe an example of where this is possible is in a factory warehouse, at times when workers could be needed to work overtime in the events of extensive deliveries of goods or commodities.

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Note added at 8 days (2022-07-17 21:43:20 GMT)
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Entiendo:
'Si no hay bastantes empleados calificados que se apunten voluntariamente para hacer las horas suplementarias del sobretiempo, el trabajo suplementario se solicitará o se asignará por la Empresa.
Si la Empresa no puede asignar, solicitar o llamar a unos empleados calificados que trabajen un sobretiempo, el sobrtiempo diariamente se asignará por senioridad reversa, empezando con el empleado menos senior, el más joven que está califaicado para hacer el trabajo, durante el mismo turno de trabajo en el departamento en que es necesario el sobretiempo u las horas suplementarias.'